Позвонить:
89-888-999-339
  Пообщаться в ICQ:
984848 - Артур
  Написать письмо:
89888999339@ya.ru
 

Частные случаи дифференциальных уравнений второго порядка

Если дифференциальное уравнение имеет вид , т.е не содержит явным образом , то делается замена .
Если дифференциальное уравнение имеет вид , т.е не содержит явным образом , то делается замена .

№1

Решить уравнение , если .
Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явным образом , поэтому делаем замену (полагая функцией от ), . Имеем:
. Учтем и разделим переменные в последнем уравнении: .
Интегрируя последнее равенство получаем: . Учитывая результат интегрирования будет таким: . Отсюда следует . Так как , то , . Так как согласно начальным условиям при и , то, учитывая и получим: .
Подставляя найденные значения получим ответ:


№2

Решить уравнение
Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явным образом , поэтому делаем замену (полагая функцией от ), . Имеем:
. Получили однородное уравнение, решаемое заменой . Тогда:
. Разделяем переменные и интегрируем: , откуда находим . Далее, так как и , то . Возвращаемся к первоначальной замене . Применяя метод интегрирования по частям, найдем .

№3

Решить уравнение . если ..
Данное уравнение не содержит явным образом переменной x, поэтому делаем замену . (полагая .функцией от ). Соответственно, . Подставляя эти замены в исходное уравнение, получим: . Вынося за скобки, получаем:
, откуда следует, что или . Рассматривая первый случай () находим, что .
Уравнение преобразуем в таком виде: . Полученное уравнение первой степени – линейное. Делаем замену , где - неизвестные функции переменной . Применяем метод Бернулли:
. Функцию подбираем таким образом, чтобы было выполнено условие . Учитывая разделим переменные в последнем уравнении: . Интегрируем последнее равенство: . Подставляя в уравнение и принимая во внимание получим . Из последнего равенства следует . Применяя метод интегрирования по частям в интеграле получим значение функции в таком виде: . Так как и , то . Так как согласно первоначальной замене , то . В условии задачи указаны начальные условия ( при ), которые представляется возможным применить с целью выяснения значения постоянной .. Подставляя ., получим ., откуда следует .. Учтем . и перепишем уравнение . в виде .. Далее, так как ., то из . следует .. Интегрируя это равенство, получаем .. Учитывая начальные условия найдем .. Тогда .

Rambler's Top100

© botaniks.ru, 2010.