Позвонить:
89-888-999-339
  Пообщаться в ICQ:
984848 - Артур
  Написать письмо:
89888999339@ya.ru
 

Дифференциальным уравнением первого порядка называют соотношение вида , где – независимая переменная (аргумент), – неизвестная функция аргумента – заданная функция трех переменных , изменяющихся в некоторой области трехмерного пространства.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными


Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение первого порядка вида или .

Пример
Решить уравнение . В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному условию .
Учитывая, что и вынося за скобки , получим , или, что то же самое, . Разделив обе части уравнения на произведение получим: . Интегрируем обе части последнего равенства: . Учитываем то, что и сокращаем обе части равенства на . Произвольную постоянную удобно представить в виде . Тогда , откуда и получаем ответ .
Учтем заданное условие . Следовательно, искомое частное решение есть .

Однородные дифференциальные уравнения


Дифференциальное уравнение называется однородным, если – однородная функция нулевой степени.
Дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме является однородным, если – однородные функции одной степени.
Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример
Решить уравнение . Найти решение, удовлетворяющее начальному условию .
Данное уравнение однородное. Произведя замену , получим (здесь мы учли, что ). Сокращаем на . Учитывая, что , получим . Интегрируем полученное равенство: . Обозначая и учитывая , получаем ответ . Для данного начального условия . Следовательно, искомое частное решение есть .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка


Дифференциальные уравнения вида называются линейными. Существуют несколько методов их решения: метод Бернулли, метод Лагранжа, метод интегрирующего множителя.
Метод Бернулли
Решение уравнения ищется в виде . При этой замене получаем: . Функцию выбирают из условия . Полученную функцию подставляют в уравнение (учитываем ), решая которое находят функцию .

Пример
Решить уравнение .
Полагая и учитывая , получим . Преобразуем полученное уравнение: . Функцию выберем из условия . Учитывая , получаем . Интегрируем это равенство: ( см. примечание).
Подставляя полученный результат в уравнение , и учитывая, что при , получим . Сократим последнее равенство на и учтем . Тогда . Учитывая , ответ будет таким: .
Примечание
При интегрировании равенства , получается результат , откуда следует, что или . Однако в методе Бернулли нас интересует не все множество функций , а лишь одна функция из этого множества. Проще всего принять и выбрать , тогда .

Rambler's Top100

© botaniks.ru, 2010.