Позвонить:
89-888-999-339
  Пообщаться в ICQ:
984848 - Артур
  Написать письмо:
89888999339@ya.ru
 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение первого порядка вида или .

№1

Решить уравнение . В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному условию .
Учитывая, что и вынося за скобки , получим , или, что то же самое, . Разделив обе части уравнения на произведение получим: . Интегрируем обе части последнего равенства: . Учитываем то, что и сокращаем обе части равенства на . Произвольную постоянную удобно представить в виде . Тогда , откуда и получаем ответ .
Для того, чтобы найти постоянную , учтем заданное условие : . Следовательно, искомое частное решение есть .

№2

Решить уравнение .
Перепишем данное уравнение в таком виде: . Заменяя на , получим: . Далее, разделяем переменные: . Интегрируя обе части последнего равенства, получаем: . Так как , то . Для удобства записи заменим , тогда , или, что то же самое, .

№3

Решить уравнение при заданном начальном условии .
Разделим переменные: . Интегрируем полученное равенство:
. Учитывая , получим . Так как по условию задачи . Подставляя , получим ответ:

№4

Решить уравнение , если известно, что .
Учитывая , получим . Интегрируем последнее равенство:
. Так как , то . Для более короткой записи результата, представим произвольную постоянную в виде и применим формулу суммы логарифмов к правой части равенства: . Из последнего равенства получаем: . Так как , то . Подставляя , получим .

Rambler's Top100

© botaniks.ru, 2010.