|
Динамика механической системыИсследуемая механическая система, изображенная на рисунке, состоит из колес 1, 2 и груза 3. На колесо 1 действует вращающий момент Мвр = 1000 Нм. На груз 3 действует сила сопротивления Rc = 150V3 Н м, зависящий от прямолинейной скорости груза 3.В начальный момент времени t = 0 система находилась в покое. Массы тел 1, 2, 3 соответственно равны  . Радиусы больших и малых окружностей колес  .. Радиусы инерции  . Номер тела приведения - 1.  . Рисунок 4.1 Схема механизма  . Рисунок 4.2 Статическая схема механизма 1.Для решения рассматривается равновесие каждого звена под действием сил, показанных на рисунке. Здесь G-силы тяжести; Nx, Ny-реакции подшипников;  . - силы действия и противодействия в зубчатом зацеплении, соединяющем звенья 1 и 2.  .. Уравнения равновесия для звена 1 и 3:  . Для колеса 2  . Откуда  .. Определим реакции опор из остальных уравнений.  .. В равновесии натяжение троса, на котором висит груз, равно весу груза  .. Сравнивая заданную массу  . массой  ., видим, что  ., значит момент М будет поднимать груз 3.  . Рисунок 4.3 Кинематическая схема 2.На рисунке введены обозначения:  . - угловая скорость, угловое ускорение, угловое перемещение тела 1;  . -то же для тела 2;  . - линейная скорость, ускорение и перемещение тела 3. Движение от тела 1 к телу 2 передается посредством зубчатой передачи  . Касательные ускорения этих точек тоже равны, следовательно,  . Равны и линейные перемещения этих точек,  .  . Груз 3 висит на тросе, который намотан на колесо радиуса R1, поэтому  Ускорение груза 3 равно касательному ускорению точки, которая принадлежит большей окружности колеса 1,  . Откуда:  Линейные перемещения груза 3 и точки на окружности радиуса R1 равны  3. По теореме об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех сил, действующих на систему  Система состоит из твердых тел, тросы, передающие движение от одного тела к другому нерастяжимые и невесомые, поэтому сумма мощностей всех внутренних сил системы равна нулю. Вычисление кинетической энергии механизма выполняется с учетом формул, полученных в главе 2. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех звеньев, участвующих в движении  . Тела 1 и 2 вращаются вокруг неподвижных осей, поэтому их кинетическая энергия вычисляется по следующим формулам:  Тело 3 движется поступательно, поэтому  .  - момент инерции тела 1 относительно его оси вращения, он равен  - момент инерции тела 2 относительно его оси вращения, он равен  . Откуда получается выражение для кинетической энергии  . Для заданной механической системы, состоящей из твердых тел, соединенных нерастяжимыми, невесомыми тросами мощность всех внутренних сил равна нулю, поэтому необходимо вычислить мощность внешних сил. В общем случае мощность силы определяется формулой  , где F = величина силы, v-скорость точки приложения силы, альфа - угол между направлением силы и направлением скорости. Силы тяжести тел 1 и 2, а также реакции опор  приложены к неподвижным точкам O1 и O2 поэтому их мощности равны нулю. Мощность момента Мвр равна , мощность силы тяжести m3g равна  . Мощность силы, действующей на вращающееся тело, вычисляется как взятое со знаком + или – произведение силы на скорость тела, поэтому мощность силы сопротивления вычисляется по формуле  Сумма мощностей всех внешних сил равна  Подстановка заданных величин позволяет вычислить суммарную мощность.  Дифференциальное уравнение движения имеет вид   Рисунок 4.4 Динамическая схема к вычислению мощностей сил Дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если разделить его на коэффициент перед старшей производной, то уравнение приобретает вид  Решение этого уравнения отыскивается в виде  –решение однородного уравнения а  - частное решение уравнения. Для решения однородного уравнения составляется характеристическое уравнение . Корни характеристического уравнения  . Решение, соответствующее корням характеристического уравнения, имеет вид  , где C1 и C2 - константы интегрирования. Частное решение уравнения отыскивается по виду правой части:  . Константа А определяется после подстановки в уравнение 0,193А = 1.43, отсюда А = 7,41. Общее решение уравнения имеет вид  Константы C1 и C2 определяются из начальных условий: при  . Вычислим угловую скорость, взяв производную Выполнение начальных условий дает два алгебраических уравнения:  . Из этих уравнений  . Окончательно решение уравнения имеет вид  4. Законы движения всех тел механизма, формулы скоростей и ускорений этих тел в зависимости от времени. Продифференцируем правую и левую части уравнения угловой скорости и определим угловое ускорение колеса 1  Воспользовавшись кинематическими зависимостями, получим закон движения тела 2 и формулы   Законы изменения параметров движения тела 3:  5. График изменения кинематических параметров по времени. Характеристики установившегося движения. Требуется с помощью уравнений построить графики угловой скорости, ускорения и перемещения колеса 1 по формулам из п.4 и по ним определить характеристики установившегося движения. На рисунке видно, что при  . Отсюда можно сделать вывод, что примерно через 30 с после начала разгона механизма из состояния покоя его движение «устанавливается» и все звенья продолжают двигаться с постоянными скоростями. Таким образом, время установления движения  . Параметры установившегося движения:  .  Угловая скорость  и ускорение  тела 16. Определение динамических реакций опор колес. Требуется вычислить реакции внешних опор колес 1 и 2, а также силы натяжения всех ветвей тросов. Для определения сил реакций опор и силы взаимодействия между телами 1 и 2 воспользуемся уравнениями, выражающими принцип Даламбера. Согласно принципу Даламбера, если в данный момент времени ко всем действующим на механическую систему силам присоединить силы инерции Даламбера, то получившаяся система сил будет эквивалентна нулю и для неё выполняются уравнения статики. Нужно изобразить активные силы и реакции внешних опор так же, как в пп. 2 и к ним добавить момент пары сопротивления Mc. Силы инерции вращающихся тел 1 и 2 приводятся к парам сил с соответствующими моментами  . Знак минус в этих формулах указывает на то, что моменты и угловые ускорения противоположны по направлениям.  - моменты инерции колес относительно их осей вращения. Сила инерции тела 3, которое движется поступательно, равна  . Все силы и моменты изображены на рисунке. Составим уравнения, выражающие принцип Даламбера, для каждого тела в отдельности. Cистема сил, действующих на тело 1, плоская, поэтому следует составить три уравнения. Сумма проекций всех сил на ось x равна 0  Сумма проекций всех сил на ось y равна 0  Сумма моментов всех сил относительно точки О1 равна 0  Аналогично составляются уравнения для сил, действующих на тело 2.   Рисунок 4.5 Динамическая схема. Подставляя значения всех величин и используя формулу для углового ускорения ε1, получим значение силы натяжения троса между колесами 1 и 2 в виде функции от времени.  НДля оценки максимального значения, рассмотрим функцию  . При t = 0 эта функция рана 1, а если  , то функция  . Отсюда можно сделать вывод, что сила S1 имеет максимальное значение при разгоне:  . Определим реакции неподвижной шарнирной опоры  .  Максимальные значения сил:  . Аналогично  Максимальные значения сил:  при установившемся движении. При разгоне  ; Для определения силы натяжения троса, на котором висит груз 3, применим принцип Даламбера к грузу.  Подставляя известные значения, получим  Н. Максимальное значение эта сила имеет при разгоне  . 7. Мощность ведущего усилия. Ведущим усилием для рассматриваемого механизма является сила Р. Мощность момента Мвр вычисляется по формуле   Вт. Максимальное значение мощность ведущего усилия имеет при установившемся движении  . 8. Работа ведущего усилия на перемещении, соответствующем времени установления движения. Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, вычисляется по формуле  . Вычислим значение угла поворота фи1 для момента времени, за которое движение механизма устанавливается   Искомое значение работы:  9. Принцип возможных перемещений. Требуется, применяя принцип возможных перемещений, определить при каком значении силы давления Q на тормозную колодку в начальный момент времени t = 0 механизм не тронется с места, если колодка действует на колесо 2 в точке А. Согласно принципу возможных перемещений для равновесия механической системы с идеальными связями, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.  . Определим предельное значение силы, которая будет удерживать механизм в равновесии при заданных массах звеньев. Сопротивление, зависящее от скорости в этом случае равно 0. На рисунке 4.2 изображены активные силы, действующие на механизм. Это момент Мвр, силы тяжести звеньев и груза 3. Действие силы Q на колодку передаётся на колесо 2 в точке А через силу давления N и силу трения Fтр. В случае равновесия механизма, возможные перемещения звеньев механизма будут соответственно  . Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы, связи, наложенные на систему, являются стационарными и голономными, поэтому зависимости между возможными перемещениями такие же, как между действительными перемещениями, определенными формулами рассмотренными выше.  . Дадим механизму возможное перемещение и вычислим возможную работу активных сил.  Получаем значение искомой силы  При значении силы Q = 3333,33H механизм не тронется с места.  10 Выводы. Методами статики исследовано состояние равновесия подъемного механизма и установлена грузоподъемность, реакции внешних опор и сил натяжения тросов при максимальной нагрузке. Исследована кинематика механизма и установлены зависимости между параметрами движения его звеньев. С помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме получено дифференциальное уравнение движения механической системы, после интегрирования которого, установлены законы движения всех тел и получены формулы изменения их скоростей и ускорений. Для определения сил зубчатого взаимодействия и реакций связей был применен принцип Даламбера. Построены графики изменения параметров движения тела 1. По графику угловой скорости видно, что через некоторое время угловая скорость колеса 1 становится постоянной и равной  это значит, что движение устанавливается, и все тела движутся равномерно. Время установления  . Определены силы натяжения тросов. Установлены законы изменения значений этих сил и определены их максимальные значения. Вычислены реакции внешних связей и их максимальные значения. Установлена зависимость мощности ведущего момента М и определено её максимальное значение  . Определена работа ведущего усилия на перемещении, соответствующем времени установления движения. Принцип возможных перемещений применен для определения тормозящего усилия Q, необходимого для удержания механизма в равновесии. Таким образом, методами теоретической механики исследована статика, кинематика и динамика подъёмного механизма.  Cкачать бесплатно пример решения задач - Динамика механической системы
|
