Позвонить:
89-888-999-339
  Пообщаться в ICQ:
984848 - Артур
  Написать письмо:
89888999339@ya.ru
 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения вида называются линейными. Существуют несколько методов их решения: метод Бернулли, метод Лагранжа, метод интегрирующего множителя.
Метод Бернулли
Решение уравнения ищется в виде . При этой замене получаем: . Функцию выбирают из условия . Полученную функцию подставляют в уравнение (учитываем ), решая которое находят функцию .

№1
br>
Решить уравнение .
Данное уравнение линейное.
Полагая и учитывая , получим . Преобразуем полученное уравнение: . Функцию выберем из условия . Учитывая , получаем ; ; . Интегрируем это равенство: ( см. примечание).
Подставляя полученный результат в уравнение , и учитывая, что при , получим . Сократим последнее равенство на и учтем . Тогда , Учитывая , ответ будет таким: .
Примечание
При интегрировании равенства , получается результат ,, откуда следует, что , или ,. Однако в методе Бернулли нас интересует не все множество функций , а лишь одна функция из этого множества. Проще всего принять , и выбрать ,, тогда .

№2


Решить уравнение .
Покажем, что данное уравнение относится к линейным. Для этого обе части разделим на коэффициент при . Получили уравнение вида , т.е. линейное. Делаем замену :
. Выносим за скобки: . Согласно методу Бернулли функцию необходимо выбрать так, чтобы . Учтем и разделим переменные в уравнении :
. Интегрируя последнее равенство учтем :
.

Возвращаясь к уравнению , учитывая при , получаем: , откуда , следовательно .
Так как .

Rambler's Top100

© botaniks.ru, 2010.