Позвонить:
89-888-999-339
  Пообщаться в ICQ:
984848 - Артур
  Написать письмо:
89888999339@ya.ru
 

Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение называется однородным, если – однородная функция нулевого порядка (в другой терминологии - нулевой степени или измерения).
Проще говоря, если после замены на на Дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме является однородным, если – однородные функции одной степени. Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

№1

Решить уравнение . Найти решение, удовлетворяющее начальному условию .
Убедимся в том, что данное уравнение однородное. Заменим . на на .:
.. Так как после осуществленной замены уравнение было приведено к исходному виду, то оно является однородным.
Для решения уравнения вводим замену ., получим . (здесь мы учли, что .). Сокращаем на .. Учитывая, что ., получим . Интегрируем полученное равенство: . Обозначая и учитывая , получаем ответ . Для данного начального условия . Следовательно, искомое частное решение есть .

№2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее данному начальному условию .
Несложно показать, что данное уравнение относится к однородным. Перепишем его виде или, учитывая , получим .
Аналогично предыдущему примеру делаем замену . . Раскрывая скобки в последнем равенстве, получим:
. Учитывая разделим переменные: ,. Для интегрирования последнего равенства необходимо учесть, что:
.
Тогда перепишем в виде: ;. Применяя формулы суммы и разности логарифмов в левой части равенства, и переобозначая в правой части, получим:
. Так как , то , значит . Учитывая заданное начальное условие, согласно которому если то , найдем значение постоянной Тогда , или .

№3

Решить уравнение .
Нетрудно убедиться в том, что данное уравнение является однородным. Заменяем :
. Учитывая разделим переменные: . Интегрируя последнее уравнение, учтем, что :
. Заменяя , получаем: .

Rambler's Top100

© botaniks.ru, 2010.