Позвонить:
89-888-999-339
  Пообщаться в ICQ:
984848 - Артур
  Написать письмо:
89888999339@ya.ru
 

Числовые ряды.

Признаки сходимости числовых рядов


Необходимый признак сходимости числового ряда:
Если ряд сходится, то .

Данный признак означает, что если , то ряд расходится. Например, расходится, так как . Из выполнения условия в общем случае не следует сходимость ряда . Например, для ряда (гармонический ряд), условие выполнено, но данный ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов


Признаки сравнения


        Если , и ряд сходится, то сходится и ряд .
        Если , и ряд расходится, то расходится и ряд .

Признаки сравнения можно сформулировать в такой форме:
        Если заданы ряды и существует , то ряды сходятся либо расходятся одновременно.

Признак Д’Аламбера
Если существует то:
        при ряд сходится;
        при ряд расходится.

Радикальный признак Коши
Если существует то:
        при ряд сходится;
        при ряд расходится.

Интегральный признак Коши
Пусть задан ряд , члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции f(x) на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл . Если же расходится, то ряд также будет расходящимся.


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов) Ряд сходится, если:
.

Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называют сходящимся условно.
Очевидно, что если ряд сходится, то ряд также сходится. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Функциональные ряды.

Степенные ряды
Пусть для степенного ряда существует .
        Если , то ряд сходится только в точке .
        Если , то ряд сходится на всей числовой оси.
        Если , то ряд сходится в интервале .
Пусть для степенного ряда существует .
        Если , то ряд сходится на всей числовой оси.
        Если , то ряд сходится только в точке .
        Если , то ряд сходится в интервале
Вопрос о сходимости ряда на концах интервала сходимости решают дополнительным исследованием.

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена



Ряды Фурье
Рядом Фурье функции f(x), определенной на сегменте называется ряд
,где


Если в точке x0 функция f(x) терпит разрыв первого рода, то сумма ряда Фурье определится как

.
Если функция f(x) задана в сегменте , то данная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье , где


Если функция f(x) четная, то


Если функция f(x) нечетная, то


Rambler's Top100

© botaniks.ru, 2010.